Оба слова являются правильными, но применение того или иного зависит от контекста предложения.
Правильно
Для определения того, какая форма должна использоваться в конкретном предложении, сперва нужно определить категорию слова. Если слово является прилагательным, необходимо поставить вопрос: о каком, в каком, или каким.
О каком? – О прошедшЕм
В каком? – В прошедшЕм
Каким? – ПрошедшИм
Прошедшем
О каком дне идет речь? – Я рассказывал о прошедшем дне
В каком году ты поступил – Я поступил в прошедшем году
В прошедшем году предприятие получило прибыль
Прошедшим
Каким днем ты доволен? – Я доволен прошедшим днем
Мы гордимся прошедшим годом (каким?)
Все довольны прошедшим днем (каким?)
Я доволен прошедшим днем рождения (каким?) – На прошедшем дне рождения было весело (на каком?)
Поздравляю тебя с прошедшим днем рождения (с каким?) – Ты был на прошедшем дне рождения? (на каком?)
Также обе формы слова могут быть образованы от существительного “прошедшее” в зависимости от числа и падежа.
| ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО | МНОЖЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО | |
|---|---|---|
| ИМ. | прошедшее | прошедшие |
| РД. | прошедшего | прошедших |
| ДТ. | прошедшему | прошедшим |
| ВН. | прошедшее | прошедшие |
| ТВ. | прошедшим | прошедшими |
| ПР. | прошедшем | прошедших |
Прошедшим (прошедшими) я доволен – Подразумеваем “я доволен прошедшим мимо меня человеком” (кем, чем?)
Уступили дорогу прошедшим – Подразумеваем “мы уступили дорогу прошедшим людям” (кому, чему?)
О прошедшем много говорят – Подразумеваем “люди много говорят о прошедшем мимо человеке” (о ком, о чем?)