Правильно
Побегу – единственно правильный вариант, если речь идет о беге (не путать со словом “победа”). Пишется только через букву “г”, можно заменить на “буду бежать”.
Завтра я побегу марафон
Побегу на работу, а то опаздываю
Через час побегу на автобус
Побегу вместе со своим другом
Неправильно
Побежу