Правильно
Без просыпа – данное выражение, употребляемое в значении наречия, следует писать раздельно, поскольку образовано оно именем существительным и предлогом БЕЗ.
Без просыпу — также пишется раздельно и является устаревшей формой вышеуказанного словосочетания.
Да она после работы без просыпа спит уже часов шестнадцать.
Можно спать без просыпа, ведь собака залает, если кто чужой полезет в дом.
Богатырь спит без просыпу уже третий день.
Неправильно
Безпросыпа, бес просыпа, безпросыпу, бес просыпу.