И первый, и второй вариант написания имеют право на независимое существование в языке.
Правильно
Под мышки – представляет собой наречное выражение. Образовано оно именем существительным и предлогом «под». Пишется раздельно (в два слова).
Папа взял меня под мышки и поставил на стул.
Она поставила медвежонку под мышки сразу два игрушечных термометра.
Чтобы освободить руки, она засовывала шапку, шарф, перчатки, папку и телефон под мышки.
Подмышки – представляет собой имя существительное, которое употреблено во множественном числе, поэтому его следует писать слитно. Отвечает слово на вопрос «что?».
Подмышки сильно вспотели.
Чтобы не было сильного запаха пота, подмышки нужно побрить.
Пиджак был мал, и к концу торжества я понял, что все-таки натер подмышки.
Неправильно
Падмышки, под-мышки.