Предложенные варианты написания имеют полное право на независимое существование.
Правильно
Под мышкой – данное наречное выражение включает в себя имя существительное, стоящее в падежной форме, и предлог «под». Писать его следует в два слова.
Папа обхватил меня поперек туловища и носил меня по дому под мышкой.
Под мышкой он держал что-то грязное, торчащее во все стороны.
Еле держась на ногах, он держал под мышкой ящик спиртного.
Под мышкой — также эти слова могут выступать сочетанием предлога и существительного «мышка» в форме творительного падежа.
Под мышкой Соней сидели еще две мыши.
Под мышкой лежали ее запасы на зиму.
Подмышкой – имя существительное, стоящее в форме творительного падежа и отвечающее на вопрос «чем?». Всегда пишется слитно, поскольку является существительным.
Руки были заняты, поэтому пришлось ловить брошенную шапку подмышкой.
Он прижал ее руки левой подмышкой, чтобы они скорее согрелись.
Оперативка была одета таким образом, что оружие находилось как раз под левой подмышкой.
Неправильно
Под-мышкой, падмышкой.