В современном русском языке существуют оба слова, но их употребление зависит от контекста предложения.
Правильно
Зовут – слово в такой форме используется в случаях, когда речь идет непосредственно о имени человека или в качестве синонима словам: подзывать, кликать, кричать, приглашать.
Как Вас зовут? – Меня зовут Юрий Иванович
Эту девочку зовут Вероника
Игоря зовут домой родители
Его зовут на воскресный ужин
Звать – это слово используется, когда речь идет о просьбе кого-либо откликнуться.
Когда Вас звать (позвать)? – Не нужно меня звать по пустякам!
В гости его звать не обязательно
К чему снится звать покойника?
Как тебя звать? – Зови меня очень громко!
Неправильно
Завут
Как тебя звать? – Меня звать Елена. – такое построение предложения является неправильным, просторечным.