Правильно
Вместе – если слово выступает наречием, то “вместе” пишется слитно. Проверяется постановкой вопроса “как?”. Например “Они собрались идти в театр вместе“. Значит действие происходит совместно с кем-то.
Я пошел в кино вместе с другом
Мы будем работать вместе
Оля и Юля учатся вместе в одной группе
В месте – комбинация предлога и существительного, применяется в случае указания на конкретное место. В данном случае вопрос ставится между “в” и “месте” – в ком? в чем? (или где?).
Он находился в месте проведения спортивных состязаний
В месте соприкосновения появилась царапина
Вмятина была в месте удара