Эти два слова являются формами одного глагола и имеют право на существование в русском языке. Различаются они вопросами, а значит, и написанием.
Правильно
Гордится – глагол в настоящем времени, отвечающий на вопрос «что делает?». Раз в вопросе мягкого знака нет, то и в глаголе его не будет.
Отец гордится своим взрослым сыном.
Своими золотыми медалями гордится Яна.
Каждый житель нашего города гордится тем, что именно у нас ежегодно проходит «Фестиваль дерунов».
Юный спортсмен гордится своими успехами.
Гордиться – инфинитив, отвечает на вопрос “что делать?”. Глагол будет писаться через -ТЬСЯ, потому что вопрос оканчивается на –ТЬ.
Чем же еще можно гордиться?
Молодой человек, у вас нет причины так гордиться собой.
Дорогая моя мама, ты еще будешь гордиться мной.
Жители города могут гордиться тем, что только у них есть памятник князю Малу.
Неправильно
Гордитца, гордитьца, гордицца.