Оба слова используются в русском в языке, и оба являются правильными. Слова являются разными формами одного глагола. Наличие мягкого знака в глагольных суффиксах зависит от его наличия в вопросе.
Правильно
Хранится – отвечает на вопрос «что делает?», потому что глагол стоит в настоящем времени. Поскольку в вопросе мягкого знака нет, то и в глаголе писать его не следует.
Сколько лет этот кулон уже хранится у тебя?
«Пусть лучше этот фотоальбом у меня хранится, чем ты им печь растопишь».
У тебя столько бисера хранится дома, а ты все никак не можешь взяться за вышивку!
Что только не хранится в человеческой памяти!
В музее Великой Отечественной войны хранится множество реликвий.
Храниться – отвечает на вопрос «что делать?», поскольку является инфинитивом. В вопросе есть мягкий знак, поэтому он будет писаться и в глаголе.
В камере хранения не могут храниться оружие, легковоспламеняющиеся или взрывоопасные предметы.
Скажите, пожалуйста, как долго может храниться этот товар?
Стиральный порошок должен храниться в сухих помещениях.
«Сколько еще этот мусор будет храниться в шкафу?» – сердито спрашивала мама.
Неправильно
Хранитца, храницца, хронится, хрониться.