Оба слова являются правильными. Отличаются написанием и ударением. Проверить написание можно, поставив вопросы к глаголам.
Правильно
Полечится – отвечает на вопрос «что сделает?», потому что является глаголом, который стоит в форме будущего времени. Правило гласит, что, если в вопросе к глаголу нет мягкого знака, то и в глагольном суффиксе его писать не надо. ПолЕчится – ударная гласная «Е» во втором слоге.
Максим знал, что ранение несерьезное и решил, что полечится в медсанбате, и в госпиталь ехать отказался.
«Пусть полечится травками,» – сказала знахарка, завязывая узелок.
«Он полечится с недельку, а потом можно и домой,» – сказал врач его родным.
Полечится он в клинике месяц-другой, а через полгода опять принимается за старое.
Полечиться – неопределенная форма глагола, отвечающая на вопрос «что сделать?». Поскольку вопрос содержит мягкий знак, то и глагольный суффикс будет его иметь. Ударение падает на третий слог – полечИться. Ударной гласной будет гласная «И».
Он был известным костоправом, и, не смотря на то, что жил в селе, к нему приезжали полечиться даже из столицы.
После трехдневного запоя он еле продрал глаза и решил полечиться оставшейся самогонкой.
«Полечиться-то придется,» – сказал фельдшер , осматривая пробитую гвоздем ногу.
Надо будет полечиться хотя бы недельку.
Неправильно
Полечитца, полечитьца, полечицца.