Эти, отличающиеся одной буквой слова, являются правильными. Но каждое из них употребляется в разных ситуациях. Наличие или отсутствие мягкого знака в глагольном суффиксе зависит от вопроса, который ставится к глаголу.
Правильно
Простится – глагол, отвечающий на вопрос «что сделает?», и стоящий в форме будущего времени. Поскольку вопрос не имеет мягкого знака, то и в глаголе его писать не следует.
Она простится со всем, что ей дорого, перед отъездом в другой город.
Он еще простится с другом.
Елена простится со своей мечтой, если не сможет победить в этом состязании.
Она боялась, что в любой момент он простится с жизнью.
Проститься – инфинитив, отвечающий на вопрос «Что сделать?». Глагол будет писаться через -ТЬСЯ, потому что вопрос, на который он отвечает, имеет мягкий знак в конце.
Проститься с матерью он не смог.
Нам придется проститься.
После травмы руки ей придется проститься с мечтой стать профессиональным музыкантом.
Он хотел проситься, но его не пустили, сославшись на запрет посещений.
Неправильно
Проститца, проститьца, простицца.