В современном языке используются оба варианта слова. Они являются разными глагольными формами, различаются правописанием и вопросами.
Правильно
Дозвонится – представляет собой глагол будущего времени, отвечающего на вопрос «что сделает?». Глагольный суффикс пишется без мягкого знака потому, что в вопросе мягкого знака нет.
Парень пока не дозвонится – не успокоится.
Очень повезет тому, кто первым дозвонится до оператора.
Этот клерк обязательно дозвонится до клиента банка.
До конца рабочего дня журналист дозвонится до редакции и передаст необходимый
Дозвониться – начальная форма глагола, отвечающая на вопрос «что сделать?». Слово пишется с мягким знаком в суффиксе, потому что мягкий знак есть в вопросе.
Сосед никак не мог ко мне дозвониться.
Валентина никак не может дозвониться до подруги.
Дозвониться до ректора очень тяжело, особенно во время вступительной кампании.
Можно дозвониться в любой уголок мира, если пользуешься мобильной связью.
Неправильно
Дозванится, дозваниться, дозвонется, дозвонеться, дозвоницца.