Оба слова употребляются в современном русском языке на равных. Их разница заключается в правописании, ударении и вопросах.
Правильно
Допросится – глагол, стоящий в форме будущего времени, поэтому к нему ставится вопрос «что сделает?». В вопросе нет мягкого знака, значит, и в глагольном суффиксе он не будет писаться. Ударным является второй слог – допрОсится. Ударная гласная – вторая «О».
Пока человек допросится дождя у природы, то и урожай погибнет.
Своим нытьем мальчишка допросится-таки себе новую игрушку.
Сын, решив поехать в горы, все-таки допросится разрешения родителей.
Такой настойчивый парень допросится увеличения зарплаты.
Допроситься – отвечает на вопрос «что сделать?», поскольку является неопределенной формой глагола. Слово пишется с мягким знаком в суффиксе, потому что такая буква есть в вопросе. Ударение падает на гласный «И» в третьем слоге – допросИться.
Кошка никак не могла допроситься обеда.
Никак не могу допроситься детей помыть посуду.
Надо иметь крепкие нервы, чтобы допроситься Кольку сесть за уроки.
У жадного и снега зимой нельзя допроситься.
У пострадавшего не могли допроситься места его проживания.
Неправильно
Допроситца, допросется, допросеться, допросицца.