Правильно
Кукушонок – единственно правильный вариант написания. Буква «о» находится под ударением. Согласно правилам русского языка после ш, ч, щ под ударением пишем букву «о». Буква «е» употребляется только в безударной позиции.
Кукушонок притаился в гнезде.
Кукушонок часто выбрасывает птенцов той птицы, в гнездо которой подбросила его кукушка.
На первой странице журнала красовалось фото кукушонка.
Книга называлась «Кукушонок».
Неправильно
Кукушенок.