В русском языке используются оба слова. Согласно подавляющему большинству словарей русского языка, существительные имеют разное значение, соответственно, используются в разном контексте.
Правильно
Подпись — собственноручно написанная фамилия, графическое изображение имени собственного в виде росчерка. Это слово используется в любом стиле речи, когда контекст предложения подразумевает необходимость подписать документы.
Секретарь отнес документы на подпись директору
Поставьте, пожалуйста, свою подпись в конце документа
Ваша подпись должна быть на каждой странице
Художник оставил свою подпись на картине
Роспись — орнаментальная или сюжетная живопись, изделия народного искусства, действие по значению гл. расписывать. Второе значение — распределение чего-либо, перечень, список. В деловой речи недопустимо использовать выражение «поставить роспись».
Роспись на потолке собора была незабываемой
Эта роспись выполнена известным художником
Наш салон предлагает услугу росписи ногтей
Мы сформировали роспись расходов компании
Нам предоставили роспись судебных издержек
Расписаться — глагол, который употребляется в значении: поставить свою подпись, удостоверяя, признавая что-либо. Выражение «расписаться за что-либо» подразумевает «поставить подпись».
Мне необходимо расписаться в документах
Расписаться за полученный товар
Распишитесь, пожалуйста, за полученные деньги
Неправильно
Поставить роспись.