Предмет исследования
Настоящая работа принадлежит к циклу исследований, проведенных на основе методических принципов теории формирования умственных действий и понятий П. Я. Гальперина.
Предметом нашего исследования являлась проблема доказательства в начальном курсе геометрии.
Усвоение геометрии предполагает не только овладение системой геометрических понятий, но и целым рядом различных умений, среди которых наиболее важным является умение доказывать.
Общеизвестно, что учащиеся средней школы, как правило, не владеют данным умением. Большинство учащихся VI —VII классов не только не умеют самостоятельно решать задачи на доказательство и доказывать теоремы, но часто оказываются не в состоянии осуществить простое воспроизведение доказательства уже известной им теоремы, если к ней дан чертеж с другими буквенными обозначениями или если чертеж расположен иначе.
В проведенном нами исследовании была предпринята попытка на основе анализа умения доказывать раскрыть его содержание, выделить составляющие данное умение компоненты и организовать их усвоение.
Интересующая нас проблема является объектом внимания не только преподавателей геометрии, математиков - методистов, но и психологов. Однако ни в методической, ни в психологической литературе мы не находим исследований, авторы которых подходили бы к данной проблеме со стороны анализа умения доказывать, выделения составляющих его содержание действий и операций. С другой стороны, в этих исследованиях остается нераскрытым также и содержание того процесса, результатом которого является усвоение умения доказывать.
Выполнение геометрического доказательства возможно лишь при условии владения учащимися некоторой предварительной системой геометрических знаний и умений.
Отсутствие необходимых для решения задачи знаний или же их плохое качество вызывает у учащихся различного рода затруднения. Этот факт неоднократно отмечался в методической литературе по геометрии. В работах В. И. Зыковой и Е. Н. Кабановой - Меллер он был подвергнут специальному исследованию. Авторами, в частности, было убедительно показано, что неумение решать задачи может быть связано, например, с тем, что у учащихся сформировано слишком широкое или слишком узкое понятие о той или иной геометрической фигуре, с недостаточно обобщенным усвоением теоремы, с отсутствием систематизнрованности понятий и т. д.
Формирование полноценной системы начальных геометрических понятий является, таким образом, очень важным, однако лишь предварительным условием успешности решения задач на доказательство. Умение решать задачи —это умение применять уже имеющиеся.у учащихся знания в соответствии с конкретными условиями задачи или теоремы.
В этой связи большого внимания заслуживает высказанная рядом математиков и методистов идея регулирования мыслительной деятельности в процессе доказательства посредством системы правил, указаний, советов и т. д. (Ж - Адамар, Д. Пойа, Н. Н. Иовлев, А. Сонцов и др.).
Наиболее полное отражение указанная точка зрения нашла в исследованиях Л. Н. Ланды. Автором было показано, что затруднения учащихся при доказательстве могут быть связаны не только с отсутствием необходимых для доказательства знаний или с их плохим качеством, но и с неумением правильно применять эти знания, правильно рассуждать и правильно анализировать задачу.
В связи с этим он предлагает вооружить учащихся «методом рассуждения» в процессе решения задач на доказательство. Чтобы обеспечить формирование указанного метода, Л. Н. Ланда рекомендует учащимся пользоваться специальным правилом, раскрывающим содержание и последовательность анализа условия задачи. Правило включает в себя следующие рекомендации: посмотреть, что дано и что требуется доказать;сделать выводы из того, что дано;вспомнить все известные признаки фигур и сопоставить их с тем, что дано, а также и с чертежом;выделяя на чертеже элементы, выяснить, чем они могут еще являться, и т. д. Говоря о содержании отдельных пунктов правила, необходимо отметить, что учащимся в них рекомендуется выполнять действия, представляющие собой довольно сложные умения. Формирование таких умений требует применения особой методики и специальной системы заданий.
Естественно, что это ставит под сомнение целесообразность формирования у учащихся «метода рассуждения» без предварительной отработки с ними таких, например, действий, как выведение следствий из того, что дано в условии, или подведение заданных в условии геометрических явлений под системы признаков искомых понятий и т. д.
Применение подобных правил безусловно необходимо и целесообразно, но лишь в качестве способа регулирования процесса применения уже сформированных действий. У Л. Н. Ланды, как мы видим, формирование таких действий вообще не предусмотрено.
Таким образом, в исследованиях, посвященных проблеме доказательства, действия, составляющие содержание умения доказывать, или вообще не выделяются, или же выделяются, но при этом не выступают в качестве специального предмета усвоения.
Доказательство теоремы (или решение задачи на доказательство) состоит, как известно, в обосновании положения данной теоремы посредством аксиом, определений понятий или ранее доказанных геометрических предложений. Однако для выяснения того, что из себя представляет умение доказывать, необходимо выяснить, какие действия и операции ученик должен выполнить, чтобы указанное обоснование произошло.
Как известно, геометрическая теорема (как и задача на доказательство) состоит из условия и заключения. Существует довольно большая категория теорем, доказательство которых сводится к обоснованию наличия в условиях этих теорем того или иного геометрического понятия. Доказать такого рода теорему —это значит подвести заданные в ее условии геометрические явления иод искомое понятие, т. е. проверить, обладают ли геометрические явления, заданные в условии, всеми необходимыми и достаточными признаками искомого понятия, содержащегося в заключении. Характер операций проверки зависит от множества различных условий, в том числе и от логической структуры признаков искомого понятия. При конъюнктивной структуре признаков для доказательства должны быть обнаружены все необходимые и достаточные его признаки. Наоборот, при дизъюнктивной их структуре операция проверки ограничивается обнаружением хотя бы одного из признаков.
Естественно, что подведение под один из признаков требует предварительного установления того, какой именно признак искомого геометрического понятия должен быть использован в каждом отдельном случае.
При дизъюнктивной структуре признаков искомого геометрического понятия действие подведения, таким образом, опосредуется действием выбора. Причем последнее в структуре процесса доказательства выступает в качестве необходимого предварительного условия выполнения основного действия — подведения.