Оба предложенных варианта написания можно встретить в русском языке.
Правильно
На бегу – следует писать отдельно наречное сочетание, которое состоит из имени существительного и предлога.
Маг резко поднял руку и на бегу создал огромный щит из воды.
На бегу я плохо смог рассмотреть того, кто скрылся в темной подворотне.
Отстреливаясь на бегу, они пробирались через заросли кустарника к болоту.
Она поднималась вверх по лестнице, вынимая на бегу телефон.
Набегу – является глаголом, стоящим в форме будущего времени, в первом лице и единственном числе. Ударение в этом слове будет падать на третий слог – набегУ.
Я сейчас набегу на тебя!
Представив себя морской волной, я вообразил как набегу на песок и просочусь сквозь него.
С таким списком покупок я набегу на магазины, опустошив их как воины Золотой Орды.
Набегу – является именем существительным, стоящим в дательном падеже. Ударение в этом слове будет падать на второй слог – набЕгу.
Ничто не смогло помешать монголо-татарскому набегу.
Городок был готов к набегу кочевников.
Супермаркеты подготовились к ожидаемому набегу покупателей в «черную» пятницу.
Неправильно
Набигу, на бигу.