В русском языке употребляются оба слова. И оба являются правильными, потому что являются разными формами одного глагола. Отличаются они написанием и вопросами, от которых и зависит их написание.
Правильно
Парится – глагол настоящего времени, отвечающий на вопрос «Что делает?». Поскольку в вопросе нет мягкого знака, то и перед –СЯ он не будет писаться.
Парится в бане тот, кто не имеет медицинских противопоказаний.
Она совершенно не парится по поводу предстоящих экзаменов. (разговорный стиль)
Когда варишь на пару, то блюдо не варится, а парится.
Коля уже который час парится над заданием по физике. (разговорный стиль)
Париться – инфинитив, отвечающий на вопрос «Что делать?». Глагол будет писаться с мягким знаком, потому что он есть в вопросе.
Кто-то идет в баню париться, а кто-то просто мыться.
Как же он любит париться в бане!
Не выучил материал вовремя, так что теперь придется париться над задачами. (разговорный стиль)
Эта зима была настолько теплой, что в шубе приходилось париться.
Неправильно
Парется, пареться, паретца, парецца.