В русском языке глагол «мурлыкать» в форме настоящего времени имеет две параллельные формы.
Правильно
Мурлычет — нейтральная форма глагола «мурлыкать» в форме третьего лица настоящего времени единственного числа. Рекомендуется использовать в любом стиле речи.
Она мурлычет как маленькая кошка
Кот спит и громко мурлычет
Тигр мурлычет лежа на зеленой траве
Мурлыкает — равноправный вариант слова, однако в некоторых словарях отмечен как разговорный.
Кот мурлыкает лежа на летнем солнышке
Кот Барсик мурлычет на коленях моей бабушки.