Правильно
Подкидыш – правильный вариант написания слова, пишется без мягкого знака. Это существительное мужского рода, второго склонения. Согласно правил русского языка мягкий знак после шипящих пишется на конце существительных только третьего склонения (ночь, рожь).
Вчера я смотрела фильм «Подкидыш».
Дома с Олей обращались так, как будто она подкидыш.
Девочка-подкидыш была названа в честь дежурной медсестры Валечки.
На пороге стоял Петя, на руках очередной котенок-подкидыш.
Неправильно
Подкидышь.