Правильно
Дед Мороз — оба слова пишутся с большой буквы, поскольку это словосочетание является именем собственным (имя сказочного персонажа). Согласно правилам русского языка имена собственные пишутся с большой буквы (Снегурочка, Красная Шапочка и т.д.).
В наш детский сад пришел Дед Мороз!
Машинку мне подарил настоящий Дед Мороз.
Дед Мороз спел песню про нарядную ёлку.
Мы встречали Деда Мороза на пороге!
дед-мороз — если речь идет о игрушке в виде сказочного персонажа, тогда словосочетание правильно писать с маленькой буквы и через дефис.
В прилавке лежит игрушка дед-мороз.
Под елку мы поставили деда-мороза.
Этот дед-мороз мне не очень нравится.
Неправильно
Дед мороз, дед Мороз, дед мороз, Дед-Мороз