Правильно
День рождения – согласно правилам русского языка, если словосочетание “день рождения” пишется не в начале предложения, то оба слова нужно писать с маленькой буквы. С большой буквы пишутся только официальные праздники государственного значения (День строителя, День 8 марта, День Победы).
Хочу поздравить Вас с днем рождения
У меня сегодня день рождения
День рождения всегда приносит радость
Мне приносит радость мой день рождения
Неправильно
Рожденья, День Рождения, День рождения, день Рождения
Несмотря на правила русского языка, не будет ничего зазорного в том, если в поздравительном письме написать это словосочетание с большой буквы – “С Днем рождения!”. Это подчеркнет важность и значимость праздника.