В русском языке возможно как слитное, так и раздельное написание этого слова.
Правильно
Втайне – наречие, образованное от существительного «тайна» с предлогом. Оно синонимично наречиям «тайком», «так, чтоб никто не знал». Является словарным словом, написание которого необходимо запомнить.
Он втайне от жены встречался с любовницей.
Втайне ото всех, она мечтала уехать в Париж и стать знаменитым парикмахером.
Он поступил в театральный институт втайне от родителей.
Он четко распланировал всю операцию, втайне от сотрудников.
В тайне – существительное с предлогом «в». Пишется раздельно согласно правилу написания существительных и предлогов.
Он очень просил сохранять весь разговор в тайне.
В этой тайне открылись новые подробности.
В их тайну проникли злоумышленники.
Они оба состоят в тайне.