Правильно
Пополуночи – неизменяемое наречие. Единственно правильное написание – слитное, зафиксировано во всех словарях русского языка. Означает «после 12 часов ночи».
Кукушка в часах прокуковала один раз – следовательно, был час пополуночи.
– Ну кто ест пополуночи?! Ты в своем уме?
Он пришел далеко пополуночи, а она не знала, как на это реагировать.
Ребенок разбудил меня в два часа пополуночи: я его уложила, а сама так и не смогла уснуть.
У меня поезд в час пополуночи, поэтому ложиться спать не имеет смысла.
Неправильно
По полуночи.