Правильно
Оба варианта написания и произношения являются правильными, но в литературном русском языке существует разграничение употребления того или иного слова. “Шесть” – количественное числительное, “шестеро” – собирательное числительное. Вариант употребления зависит от падежа и от одушевленности предмета.
С одушевленными существительными:
И. шестеро детей – шесть товарищей
Р. шестерых детей – шести товарищей
Д. шестерым детям – шести товарищам
В. шестерых детей – шесть товарищей
Т. шестерыми детьми – шестью товарищами
П. (о) шестерых детях – (о) шести товарищах
С неодушевленными существительными:
И. шестеро суток – шесть абрикосов
Р. шести суток – шести абрикосов
Д. шести суткам – шести абрикосам
В. шесть суток – шесть абрикосов
Т. шестью сутками – шестью абрикосами
П. (о) шести сутках – (о) шести абрикосах
Важно! Собирательные числительные не употребляются с существительными женского рода (нельзя сказать “шестеро ласточек”, “шестеро роз”, и т.д.).
В живом русском языке эти правила зачастую игнорируются, поэтому в основном применяется более благозвучный вариант.