Оба слова являются правильными, поскольку представляют собой разные глагольные формы. Отвечают на разные вопросы, которые являются проверочными при написании глагольных суффиксов.
Правильно
Подружится – отвечает на вопрос «что сделает?», потому что является глаголом будущего времени. Мягкий знак в глаголе писаться не будет, потому что его нет в вопросе. ПодрУжится – ударная гласная «У».
Оксана подружится с новыми соседями при первой же возможности.
В садике Лена подружится с новыми девочками
Подружится ли с классным руководителем класс, покажет время.
Малыш обязательно подружится с кем-то на площадке.
Подружиться – инфинитив, поэтому отвечает на вопрос «что сделать?». Поскольку в вопросе есть мягкий знак, то и в глаголе он будет. ПодружИться – ударение падает на третий слог, ударной является гласная «И».
Мальчишке так хотелось подружиться со своим кумиром.
Сергей решил подружиться с новеньким, ведь они даже внешне были чем-то похожи.
Она легко могла подружиться с мальчишкой, но никак не могла найти общий язык с девочками.
Ему предстояло подружиться не только с буквами, но и с цифрами.
Неправильно
Подружитца, подружитьца, подружытся.