Евклидова метрика

Другая форма представления, для сравнения двух векторов:

Метрика Евклида, используемая для определения расстояния между точками пространства признаков х1 х2, удовлетворяет всем аксиомам расстояния;она удобна для определения рассто­яния между двумя точками, например между точкой наблюдае­мых параметров и центром (выборочным средним) класса. Она не учитывает распределение точек в классе.

отклонения aj находится в результате экспериментов для каж­дого эталона.

В этом случае значения заключены между 0 и 1. Обычно перед использованием этой метрики данные стандартизуют. Данные после стандартизации должны быть неотрицательными. Метрика Чекановского:

Как и в случае метрики Чекановского, коэффициенты а, Ь, с и d берутся из таблицы ассоциативности.

Обобщённое расстояние Евклида-Махаланобиса рас­смотрим, следуя [27,28].

Для определения расстояния от точки, координаты которой представляют собой параметры наблюдаемого объекта, до клас­са п сходных объектов обычно пользуются метриками Евклида и Махаланобиса. Каждая из этих метрик имеет свои преимуще­ства и недостатки.

Метрика Евклида, используемая для определения расстоя­ния между точками х, х2,

R2E(x,x2) = (х - Х2)Т • (х - х2),

удовлетворяет всем аксиомам расстояния, она удобна для опре­деления расстояния между двумя точками, например между точкой наблюдаемых параметров и центром (выборочным сред­ним) класса. Она не учитывает распределение точек в классе.

Метрика Махаланобиса не применима, если выборочная дис­персия хотя бы одного из параметров равна нулю:

Метрика Махаланобиса совпадает с Евклидовой в случае, ес­ли класс представляет собой вектор реализаций нормирован­ных (дисперсии Di = 1, г = 1,..., п) независимых (ковариации Kij = 0, г, j = 1,... ,n,i ф j) случайных величин. Если дисперсии больше 1, то расстояние Махаланобиса меньше Евклидова, если меньше, то R2M >R2E. Проверка аксиом расстояния затрудне­на тем, что метрика используется для определения расстояния между разнородными объектами. Расстояние между двумя точ­ками согласно (3.3) почти всегда бесконечно велико. Исключе­нием является случай, рассмотренный ниже, который можно считать доказательством, что Ri"M(x,x) ф 0.

Рассмотрим класс, состоящий из трёх точек: X = ={(0,0), (0, — А), (—А, 0)}. С помощью метрики Махаланобиса определим расстояние от точки х = (0,0) до класса X. При А, стремящемся к нулю, предел этого расстояния должен быть

равен R2M(x,x). Составим матрицу С

Метрику Евклида, как и метрику Махаланобиса, можно представить в виде квадратичной формы, матрицей которой является единичная матрица:

Метрика Махаланобиса может также использоваться и для измерения расстояния между двумя классами Х и Х2. Для этого берут среднее взвешенное расстояний .Махаланобиса от выборочных средних:

Такая метрика неудобна,_так как если класс Х состоит из единственной точки х, то R2m(x, Х2) ф R2m(x, Х2). Рассмот­рим обобщённую метрику Евклида Махаланобиса [8], опреде­ляющую расстояние между двумя классами Х и Х2, в виде квадратичной формы

где xi и х2 — средние выборочные классов, матрица А~1 явля­ется обратной матрицей произведения

А = (С{+Е)(С2 + Е),

С1 и С2 — корреляционные матрицы для первого и второго классов соответственно. Для любых двух классов Х и Х2, у которых х = ~х2, расстояние R%(X,Х2) = 0. Если класс Х представляет собой точку, то соответствующая ему корре­ляционная матрица состоит из нулей и мы получаем рассто­яние, аналогичное расстоянию Махаланобиса, с той разницей, что Rq(x, Х2) = R2e(x,x2) в случае, если дисперсия D{=0, (г = 1,...,?г). Если оба класса представляют собой точки, то R2gs(x,x2) = й2е{х,х2). Такая метрика удобна для решения задач распознавания образов, в которых некоторые парамет­ры, описывающие наблюдаемые объекты, не изменяются. Рас­смотрим, в качестве примера, задачу классификации объектов (табл. 3.1).

Видно, что данные по х2 практически одинаковы, что затруд­няет использование метрики .Махаланобиса. Рис. 3.1. поясняет относительное расположение объектов. Каждый объект пред­ставлен точкой (хь Х3) в пространстве только двух параметров.

Линии наилучшего приближения к множеству точек каждо­го класса построены по методу наименьших квадратов. Серые кружки соответствуют классу 1, чёрные — классу 2. Рассмотрим

Видно, что расстояние Махаланобиса достаточно велико. Предложенная обобщённая метрика Евклида-Махаланобиса учитывает корреляционные свойства классов таким образом, что расстояние между точкой и классом стремится к расстоянию Евклида, когда дисперсии параметров класса стремятся к нулю. Это обстоятельство делает обобщенную метрику более пред­почтительной, особенно в условиях неопределённости, когда корреляционные характеристики классов заранее не известны и сами классы формируются и уточняются в процессе измерений в реальном времени.