Правильно
Фельдъегерь – правильный вариант написания сложного существительного, пишется слитно. Слово иноязычного происхождения, однако подчиняется правилам русской орфографии. Пишется слитно также, как и другие с элементами авиа-, авто-, фото-: авиабилет, фотоаппарат, автогонщик.
Фельдъегерь доставил документы в штаб дивизии.
Фельдъегерь не спал уже двое суток.
Никто не знал, что с нами в купе ехал фельдъегерь.
Чтобы не привлекать внимание, фельдъегерь одевался очень невзрачно.
Неправильно
Фельд егерь, фельд-егерь.