Оба слова существуют в современном русском языке. Они имеют общий глагол, но представляют две разные его формы. У них разное правописание и вопросы, на которые они отвечают.
Правильно
Отличится – глагол будущего времени. Пишется без мягкого знака, потому что в вопросе, который ставим к слову («что сделает?»), мягкого знака нет.
Этот солдат обязательно отличится в бою.
Он обязательно отличится, виртуозно исполнив «Полет шмеля» на конкурсе юных талантов.
Он отличится среди других спортсменов, выбив все попытки в «яблочко».
На фоне серой толпы отличится любая индивидуальность.
Отличиться – в глаголе пишется мягкий знак, потому что он есть в вопросе – «что сделать?», на который отвечает этот глагол (инфинитив).
Даже хулиган может отличиться хорошими поступками.
Малыш, привлекая внимание взрослых, любыми способами хочет отличиться.
Спортсмен мечтает отличиться своими достижениями.
Отличиться – значит выделиться своим примером.
Неправильно
Отличитца, отличицца, отличитьца, отлечится.