Правильно
Шёпотом — аналогично существительному «шепот«, наречие «шепотом» также пишется через букву «ё». Такую же форму слова приобретает существительное «шепот» в творительном падеже.
Твоим шёпотом были напуганы все спящие.
Говори шёпотом, ты всех разбудишь.
Мама шепотом рассказывала мне сказку.
У него сел голос, поэтому он говорит шепотом.
Неправильно
Шопотом.